ریاضیات کاربردى در فیزیک
مسعود ناصرى
برخلاف ریاضیات محض، ریاضیات کاربردى بحثى دقیق (و شاید بدون ایراد) نیست و میزان دقت اصول و تعاریف به کار گرفتهشده در ساختار هر شاخه، متناسب همان کاربرد است. بعنوان مثال، تا آنجائی که به واقعیت جهان فیزیکی مربوط میشود اصلا چیزی به عنوان خط راست، منحنی صاف و پیوسته (Analytic)، دایره، بیضی، مخروط، کره، مکعب و ... وجود ندارد و کاملا روشن است که شکلها و توپولوژی موجودات، بسیار پیچیدهتر از آن هستند که بتوان آنها را با اشکال هندسی سادهای مانند هندسه اقلیدسى و حتى هندسه ریمانى و یا حساب و آنالیز (Calculus/Analysis) توصیف نمود.
هیچ ستاره و کهکشانی کروی نیست، هیچ رودخانهای خط راست یا منحنی صاف نیست، هیچ کوهی مخروط نیست، هیچ ابری در آسمان و هیچ درخت و گل و گیاهی شکل هندسی خاصى ندارد. با این حساب، استفاده از تعاریف و اشکال ساده هندسه اقلیدسی/ریمانى و حساب هر چند که اطلاعات بسیار ارزشمندی در شناخت جهان به دستمان میدهد ولی باید انتظار داشت که توصیف ارائه شده از جهان فیزیکى بر پایه این شاخههاى ریاضى تقریبی باشد.
از طرفى، تا آنجائى که به خود ریاضیات محض نیز مربوط مىشود (که دقیقترین و زیباترین دانش بشر و تنها ابزار شناخت واقعى ما از جهان است)، به کارگیرى مفاهیم و تعاریف بنیادى آن در علوم کاربردى، با واقعیت فیزیکی ملموس ما همخوانى چندانى ندارد. مثلا، طبق تعریف، «نقطه» نه بُعد دارد و نه حجم و اصلا نمیتوان آنرا یک «چیز» به حساب آورد و یا در این جهان «چیزی» که بتوان به آن «نقطه» عنوان داد وجود ندارد. با درکنار هم قرار گرفتن این نقطههای بدون بُعد «خط یک بُعدى» بدست مىآید که تصور وجود فیزیکى براى آن راحت نیست. همچنین طبق تعریف، تعداد «نقطه»هایی که محیط دایره مثلا یک سانتیمتر قطر را میسازند مساویست با تعداد «نقطه» های دایرهای که قطر آن چند میلیارد کیلومتر است. به عبارت دیگر، تعداد نقطههای تمام دایرههایی که میتوان تصور کرد با هم مساوی هستند.
باید پرسید که آیا در جهان فیزیکی چیزی به اسم دایره (و کره) وجود دارد؟ جواب منفى است و بنابراین عدد پی (3.14) را که از دوران دبستان با آن آشنا شدهایم تنها یک مفهوم انتزاعی (abstract) مانند نقطه و خط در ریاضیات محض است و به کارگرفتن آن براى توصیف جهان فیزبکى، ما را از واقعیت دور و محاسباتمان را همراه با تقریب مىکند. البته این تقریب نه تنها ایرادى در کاربردهای مهندسی (و دیگر علوم کاربردى که تقریب در ذات آنهاست) ندارد بلکه ضرورى نیز مىباشد. (یادآورى کنیم که مقدار عدد پى نامعین است و هنوز ارقام بعد از ممیز آن را بطور قطعی نمىشناسیم)
اینها مواردی هستند که هرچند خللى در استحکام و زیبائى ریاضیات محض ایجاد نمىکنند ولى دلالت بر نارسا و ناکامل بودن ریاضیات کاربردى در توصیف واقعیت جهان فیزیکى دارند. البته باید اضافه کنیم که علاوه بر تعاریف ناسازگار با واقعیت فیزیکی جهان، مشکلات اساسی خاصى هم بطور نهادینه در ساختار ریاضیات اصولى (Axiomatic) وجود دارند. ازجمله، وجود نقاط تکینه (مانند تقسیم عدد بر صفر) و یا دردسر ناهمخوانی (Inconsistency) حاکم بر سیستم اصولی هیلبرت (Hilbert’s Axiomatic System) که اولین بار در اوایل قرن بیستم توسط کورت گودل (Kurt Gödel) در قالب قضیه گودل (Gödel theorem) عنوان شد و ناکامل بودن (Incomplete) ساختار چنین ریاضیاتى را مطرح کرد. بعدا این مشکل توسط تورینگ (Alan Turing) در قالب Turing halting problem و گریگوری چایتین (Gregory Chaitin) در قالب رندوم بودن در ریاضیات محض (Randomness in Pure Math) تایید گردید.
بطور خلاصه، از آنجائى که شاخههای گوناگون علوم کاربردى هر یک به شکلی از ریاضیات کاربردى بهره میگیرند متقاعدمان مىکند که امروزه این علوم تنها میتوانند توصیفی تقریبی (و گاه شاید ناقص و حتی نادرست) از واقعیت جهان و پدیدههای آن ارائه کنند و تا زمانی هم که مشکلات بالا وجود دارند نباید مطمئن شد که بتوان «واقعیت جهان» را آنگونه که هست تعریف کرد.
ارتباط ریاضیات کاربردی با فیزیک
در میان رشتههای مختلف علوم، فیزیک؛ به عنوان مهمترین ابزار شناخت جهان، شدیدا وابسته به این ریاضیات است و در حقیقت، فیزیک تئوری امروز چیزی نیست مگر ریاضیات کاربردی. بنابراین هر نقص و مشکلى که در ریاضیات کاربردى باشد طبعا به فیزیک منتقل میگردد و نباید از آن انتظار داشت که ساختار و پدیدههای جهان را بدون تقریب بیان کند. شاید به همین دلیل هم هست که هر از گاهی یک تئوری جدید در فیزیک متولد میشود که تنها در محدوده خاصی عمل مىکند و در مدتی نه چندان طولانی هم با تئوری جدیدتر و نسبتا کاملتری جایگزین میگردد که آن نیز محدوده کاربرد خاص خود را دارد.
نکته دیگر اینکه با وجودى که اغلب این تئوریها به خودی خود موفق هستند ولی با هم سر ناسازگاری دارند. مثلا تئوری نیوتن تحولی بنیادین در فیزیک و بهخصوص مهندسى به وجود آورده است ولی ظهور تئوری نسبیت نشان داد که تئوری نیوتن تنها در محدوده دنیای سرعتهای کم کارآیی دارد. همچنین، همزمان با تئوری نسبیت، تئوری مهم دیگر قرن بیستم با عنوان تئوری کوانتوم پا به عرصه وجود گذاشت که آن نیز تنها در محدوده دنیای فوقالعاده ریز اتمی و کوچکتر کارآیی دارد و در عین موفقیت عظیمش (بخصوص در کاربردهائى مانند الکترونیک دیجیتالی، رادیو، رادار، لیزر، اینترنت، کامپیوتر و ... ) در مواردی با تئوری نسبیت ناسازگاری دارد، مثلا طبق تئوری نسبیت هیج چیز یا اطلاعاتی نمیتواند سریعتر از نور جابجا شود در حالی که در تئوری کوانتوم این محدودیت سرعت وجود ندارد. ملاحظه میشود که دو تئوری بسیار موفق در محدوده خاص خودشان، با هم ناسازگارند.
گفتنی است که در 100 و اندی سال که از ظهور این دو تئوری میگذرد هنوز هیچ تئوری جدیدی که در حد این دو تئوری دگرگونساز باشد پیدا نشده است و نظر به اینکه تعداد فیزیکدانان و محققین در قرن گذشته نسبت به قرن 19 هزاران برابر افزایش داشته است؛ این ناتوانی در یافتن تئوری جامعتری از نسبیت و کوانتوم ایرادى است که فیزیک باید جوابگو باشد. البته دهه هشتاد میلادى شاهد ظهور «تئوری ریسمان» (String Theory) شد که نوید دستیابی به تئوری نهاییاى که فیزیک سرسختانه به دنبال آن است را میداد لیکن امروز فیزیکدانها چندان در این خوشبینی اشتراک نظر ندارند و حتی عدهاى از متخصصین تئوری ریسمان بر علیه آن مقاله و کتاب مینویسند و از جمله آنها Peter Woit در کتاب Not Even Wrong (که یکى از سرشناسان فیزیک نظرى به نام Roger Penrose در تایید این کتاب مطلب نوشته است) اعلام میدارد که تئوری ریسمان اصلا ارزش مطرح شدن به عنوان یک تئوری فیزیک را ندارد چه به اینکه بخواهیم درستى آنرا مورد قضاوت قرار دهیم و مثلا نتیجه بگیریم که نادرست است.
شاید اگر بنا بر یافتن تئوری جدیدی که مکمل نسبیت و کوانتوم هست باشد که بتواند واقعیت جهان را بدون تقریب توصیف کند، لازم است که تجدید نظر اساسی در ریاضیات کاربردی در فیزیک داشته باشیم و مثلا هرچند حساب (Calculus) ابزاری مفید برای کاربردهای مهندسی است ولى به نظر مىآید که به تنهائى به درد فیزیک نمیخورد و باید با ابزار ریاضی جدیدی تکمیل گردد. خوشبختانه تئوری ریاضى آشوب (Chaos Theory) کاندیداى مناسبى در این مرحله مىباشد. از مهمترین توانائىهاى این تئورى امکان مطالعه فرآیندهاى غیرخطى است که فیزیک تا امروز سعى در نادیده گرفتن آنها داشته است (و در صورت اجبار با فرآیند خطىسازى و لذا بهطور تقریبى به مطالعه آنها پرداخته است). همچنین، تئورى آشوب میتواند با دیدگاه فراکتالی خود توصیف دقیقتری از ساختار و شکل فضازمان و پدیدههای آن آنگونه که در طبیعت شاهد آن هستیم ارائه کند.
درخاتمه، چارچوب کار ما در آکادمی ناصری بر روی تئورى آشوب و بکارگیرى آن در فیزیک نظری و بیولوژی تمرکز دارد.